Question

【題目】如圖，將矩形ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕交BC、AD分別于點E、F．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由折疊的性質(zhì)可得：OA=OC，EF⊥AC，

∴AF=CF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠FAC=∠ECA，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AF=CF，

∴四邊形AECF是菱形

（2）

解：設(shè)CE=x，則AE=x，be=8﹣x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴BE2+AB2=AE2，

∴（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，即EC=5，

∴S菱形AECF=ECAB=5×4=20

【解析】（1）由折疊的性質(zhì)可得：OA=OC，EF⊥AC，即可證得AF=CF，又由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOF≌△COE，可得OE=OF，繼而可證得四邊形AECF是菱形；（2）首先設(shè)CE=x，則AE=x，be=8﹣x，然后由勾股定理求得（8﹣x）2+42=x2 ， 繼而求得答案．
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．