Question

如圖，△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，BD平分∠ABC．
（1）圖中有______個等腰三角形；
（2）求BC的長（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

解：（1）如圖，∵△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，
∴∠ABC=（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD=72°=∠C．
∴AD=BD，BD=BC，
∴圖中的等腰三角形是：△ABC，△ABD，△BCD．共有3個．

（2）設(shè)BC=x．依題意得AD=BD=BC=x，CD=a-x．
顯然△BCD∽△ABC，
∴，
∴，即x²+ax-a²=0
解得（舍去），故．
故答案是：3．
分析：（1）利用三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求得∠ABC=∠C=72°；然后由角平分線的性質(zhì)求得∠ABD=∠DBC=36°，則∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD=72°=∠C．所以根據(jù)等腰三角形的判定進行解題；
（2）設(shè)BC=x．依題意得AD=BD=BC=x，CD=a-x．通過相似三角形△BCD∽△ABC的對應(yīng)邊成比例得到，把相關(guān)線段的長度代入即可求得x的值，即BC的長度．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定．注意“三角形的內(nèi)角和等于180°”是隱含在題干中的已知條件．