Question

【題目】如圖，已知⊙O 的半徑長(zhǎng)為2，點(diǎn)C為直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BC=2．過(guò)點(diǎn)C任作一條直線l．若直線l上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P所作的⊙O 的兩條切線互相垂直，則∠ACP的最大值等于__________°．

Answer 1

【答案】45

【解析】

根據(jù)切線的性質(zhì)和已知條件先證得四邊形PMON是正方形，從而求得OP= ，以O為圓心，以長(zhǎng)為半徑作大圓⊙O，然后過(guò)C點(diǎn)作大⊙O的切線，切點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)∠ACP有最大值，作出圖形，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OP⊥PC，根據(jù)勾股定理求得PC的長(zhǎng)，從而證得△OPC是等腰直角三角形，即可證得∠ACP的最大值為45°．

∵PM、PN是過(guò)P所作的⊙O的兩切線且互相垂直，

∴∠MON=90°，

∴四邊形PMON是正方形，

根據(jù)勾股定理求得，

∴P點(diǎn)在以O為圓心，以長(zhǎng)為半徑作大圓⊙O上，

以O為圓心，以長(zhǎng)為半徑作大圓⊙O，然后過(guò)C點(diǎn)作大⊙O的切線，切點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)∠ACP有最大值，如圖所示，

，

∵PC是大圓⊙O的切線，

∴OP⊥PC，∵OC=4，OP= ，

∴PC= ，

∴OP=PC，

∴∠ACP=45°，

∴∠ACP的最大值等于45°．故答案為45．