Question

矩形ABCO的面積為10，OA比OC大3，E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D，DF⊥AE于F．
（1）求OA、OC的長(zhǎng)．
（2）求DF長(zhǎng)；
（3）P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△ABP的面積為x，△OPC的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．
（4）直線BC上是否存在點(diǎn)Q，使∠AQO=90°？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)OC=x，則OA=x+3，
由題意得：x（x+3）=10，
即（x-2）（x+5）=0，
解得：x=2，x=-5（舍去），
∴OA=5，OC=2；

（2）∵E為BC的中點(diǎn)，得到D為AD中點(diǎn)，且BC=5，AB=2，
∴AD=BE=2.5，根據(jù)勾股定理得：AE==，
∵矩形ABCD，∴BC∥AD，
∴∠BEA=∠EAD，又∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA，
∴=，
則DF=；

（3）∵S_矩形ABCD=S_△AED，
∴S_△ABP+S_△OCP=S_矩形ABCD，即x+y=5，
則y=5-x（0＜x＜5）；

（4）存在．畫(huà)出圖形，如圖所示：
當(dāng)AQ⊥QO時(shí)，∠AQB+∠CQD=90°，
∵∠AQB+∠BQA=90°，
∴∠CQD=∠BAQ，
又∠B=∠DCQ=90°，
∴△ABQ∽△QCD，∴=，設(shè)BQ=a，則QC=5-a，
∴=，即（a-1）（a-4）=0，
解得：a=1或a=4，
當(dāng)BQ=a=1時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-4，2）；
當(dāng)BQ=a=4時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-1，2），
綜上，Q坐標(biāo)為（-1，2）或（-4，2）．
分析：（1）設(shè)出OC的長(zhǎng)為x，表示出OA=x+3，根據(jù)矩形的面積公式列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出OA和OC的長(zhǎng)；
（2）由E為BC的中點(diǎn)，得到點(diǎn)D為AD中點(diǎn)，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，然后利用兩對(duì)角相等證明△ABE∽△DFA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出DF的長(zhǎng)；
（3）由矩形的面積等于三角形AED面積的2倍，得到三角形ABP的面積與三角形OCP的面積之和為5，即可列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出x的取值范圍；
（4）存在．根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由AQ與QD垂直得到角AQB與角CQD互余，又角AQB與角BAQ互余，根據(jù)同角的余角相等得到角CQD與角BAQ相等，又角B與角DCQ相等都等于直角，所以得到△ABQ與QCD兩三角形相似，設(shè)BQ=a，則QC=5-a，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出關(guān)于a的方程，求出a的值即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了同學(xué)們利用三角形相似的判斷與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)解決問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．