Question

如圖，半圓O的直徑為AB，D是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接BD并延長(zhǎng)至C，使CD=BD，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線交AC于E點(diǎn)．
（1）猜想DE與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)AB=6，BD=2時(shí)，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由切線的性質(zhì)知，OD⊥DE；△ABC中，O、D分別為AB、BC的中點(diǎn)，即OD是△ABC的中位線，因此OD∥AC，由此可得DE⊥AC；
（2）連接AD，由圓周角定理知AD⊥BC，即AD是BC的垂直平分線；因此△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，易證得Rt△CED∽R(shí)t△BDA，可得DE：CD=AD：AB；可在Rt△ABD中，用勾股定理求得AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)上面的比例關(guān)系求出DE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）DE⊥AC，
理由：連接OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
∵BD=CD，OA=OB，
∴DE⊥AC．

（2）連接AD，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°又BD=DC=2．
∴AD是BC的垂直平分線．
∴AB=AC．
∴∠ABD=∠ACD．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ADB=∠CED．
∴Rt△ABD∽R(shí)t△DCE．
∴DE•AB=AD•DC．
在Rt△ABD中，
AB=6，BD=2，
∴AD=

36-4

=4

2

．
∴DE=

AD•CD

AB

=

4

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：切線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等．