【題目】如圖1,在四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,在直線BC的同側(cè)作一個(gè)以CE為底的等腰△CEF,且滿足∠B+∠F=180°,則稱三角形CEF為四邊形ABCD的“伴隨三角形”.
(1)如圖1,若△CEF是正方形ABCD的“伴隨三角形”:
①連接AC,則∠ACF= ;
②若CE=2BC,連接AE交CF于H,求證:H是CF的中點(diǎn);
(2)如圖2,若△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形”,∠B=60°,M是線段AE的中點(diǎn),連接DM、FM,猜想并證明DM與FM的位置與數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)①90°;②見解析;(2)DM=FM,理由見解析
【解析】
(1)①連接AC,利用正方形的性質(zhì)得到∠ACB=45°,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠FCE=45°,然后利用∠ACF+∠ACB+∠FCE=180°進(jìn)行求解即可;
②設(shè)BC=a,則CE=2a,利用等腰直角三角形的判定及性質(zhì)得到AC=EF,然后利用全等三角形的判定及性質(zhì)以及中點(diǎn)的定義進(jìn)行求證即可;
(2)延長(zhǎng)DM交BE于G,連接FM,FG,根據(jù)△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形”,∠B=60°,得到△CEF是等腰三角形,且∠CFE=120°,然后利用全等三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
解:(1)①連接AC,
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ACB=45°,∠B=90°,
∵△CEF是正方形ABCD的“伴隨三角形”,
∴∠B+∠F=180°,
∴∠F=90°,
又∵△CFE是等腰三角形,
∴∠FCE=45°,
∴∠ACF=180°﹣∠FCE﹣∠ACB=90°,
故答案為:90°;
②連接AE,交CF于點(diǎn)H,
∵CE=2BC,
∴設(shè)BC=a,CE=2a,
∵∠B=90°,AB=BC=a,
∴AC=a,
∵∠F=90°,CE=2a,
∴EF=FC=a,
∵∠ACF=∠F=90°,
∴AC∥EF,
∴△ACH∽△EFH,
∴,
∴CH=HF,
∴點(diǎn)H是CF的中點(diǎn),
(2)DM=FM,FM⊥DM
理由如下:如圖,延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)P,連接DF,FP,
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,AD∥BC,
∴∠B=∠DCP=60°,∠DAM=∠PEM,
∵若△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形”,∠B=60°,
∴∠CFE+∠B=180°,
∴∠CFE=120°,且△CEF是等腰三角形,
∴∠ECF=30°=∠FEC,CF=EF,
∴∠DCF=30°
∵∠DAM=∠PEM,AM=ME,∠AMD=∠PME,
∴△ADM≌△EPM(ASA),
∴AD=PE,DM=MP,
∴CD=PE,且CF=EF,∠DCF=∠FEC=30°,
∴△CDF≌△EPF(SAS),
∴DF=PF,∠DFC=∠PFE,
∵∠PFE+∠CFP=∠CFE=120°,
∴∠DFC+∠CFP=120°=∠DFP,且DF=FP,DM=PM,
∴FM⊥DM,∠FDM=30°,
∴DM=FM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,24),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與經(jīng)過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為(18,6).
(1)求直線,對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),作軸交直線于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,得到一個(gè)恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為( )
A. 20 B. 24 C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,,點(diǎn)、分別在邊,上,且,連接,將對(duì)折,點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處,得折痕;將對(duì)折,點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處,得折痕,當(dāng),分別在邊,上時(shí).若令的面積為,的長(zhǎng)度為,則關(guān)于的函數(shù)解析式是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx﹣2k和二次函數(shù)y=﹣kx2+2x﹣4(k是常數(shù)且k≠0)的圖象可能是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】草莓是云南多地盛產(chǎn)的一種水果,今年某水果銷售店在草莓銷售旺季,試銷售成本為每千克元的草莓,規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),也不高于每千克元,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量(千克)與銷售單價(jià)(元)符合一次函數(shù)關(guān)系,如圖是與的函數(shù)關(guān)系圖象.
求與的函數(shù)解析式(也稱關(guān)系式);
設(shè)該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤(rùn)為元,求的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們知道:x2﹣6x=(x2﹣6x+9)﹣9=(x﹣3)2﹣9;﹣x2+10=﹣(x2﹣10x+25)+25=﹣(x﹣5)2+25,這一種方法稱為配方法,利用配方法請(qǐng)解以下各題:
(1)按上面材料提示的方法填空:a2﹣4a= = .﹣a2+12a= = .
(2)探究:當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)在得到的代數(shù)式a2﹣4a的值中是否存在最小值?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)應(yīng)用:如圖.已知線段AB=6,M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)AM=x,以AM為一邊作正方形AMND,再以MB、MN為一組鄰邊作長(zhǎng)方形MBCN.問:當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),長(zhǎng)方形MBCN的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;否則請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,.
(1)將向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到,請(qǐng)畫出(點(diǎn),,的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為,,)
(2)請(qǐng)畫出與關(guān)于軸對(duì)稱的(點(diǎn),,的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為,,)
(3)請(qǐng)寫出,的坐標(biāo)
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