Question

如圖，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分別是AD、BC、BE、CE的中點．
（1）求證：△ABE≌△DCE．
（2）四邊形EGFH是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．
（3）連接EF，當四邊形EGFH是正方形時，線段EF與BC有什么關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由題意可得ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE．

（2）四邊形EGFH是菱形．
證明：∵GF、FH是△EBC的中位線，且由（1）得EB=EC，
∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，
∴四邊形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，且EF=BC．
證明：連接EF，
∵EFGH是正方形，
∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形
∴EF⊥BC，且EF=BC．
分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出∠A=∠D，結(jié)合題意AB=CD，點E是AD的中點，利用SAS即可判斷全等．
（2）根據(jù)中位線定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，從而可判斷出四邊形EGFH的形狀．
（3）連接EF，則根據(jù)等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可判斷出EF與BC的關(guān)系．
點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定及性質(zhì)，考查的都是一些基本知識，解答本題的關(guān)鍵是利用SAS證明出第一步，然后利用三角形的中位線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，解答第二、第三問．