Question

10．正方形ABCD中，點E是射線AB上一動點，點F是線段BC延長線上一動點，且AE=CF，
（1）如圖1，連接DE、DF，若正方形的邊長為4，AE=3，求EF的長？
（2）如圖2，連接AC交EF與G，求證：AC=$\sqrt{2}$AE+2CG；
（3）如圖3，當點E在AB延長線上時，AE=CF仍保持不變，試探索線段AC、AE、CG之間的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意分別求出BE、BF的長，根據(jù)勾股定理計算即可；
（2）作EH∥BC交AC于H，根據(jù)正方形的性質得到∠BAC=45°，根據(jù)勾股定理得到AH=$\sqrt{2}$AE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到HC=2CG，得到答案；
（3）作EP∥BC交AC的延長線于P，與（2）的方法類似，證明即可．

解答 （1）解：∵正方形的邊長為4，AE=3，
∴BE=4-3=1，
∵AE=CF，
∴CF=3，
∴BF=BC+CF=7，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=5$\sqrt{2}$；
（2）證明：如圖2，作EH∥BC交AC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴AH=EH=$\sqrt{2}$AE，
∵AE=CF，
∴EH=CF，又EF∥CF，
∴HG=CG，即HC=2CG，
∴AC=AH+HC=$\sqrt{2}$AE+2CG；
（3）AC=$\sqrt{2}$AE-2CG．
證明：如圖3，作EP∥BC交AC的延長線于P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴AP=EP=$\sqrt{2}$AE，
∵AE=CF，
∴EP=CF，又EF∥CF，
∴PG=CG，即PC=2CG，
∴AC=AP-PC=$\sqrt{2}$AE-2CG．

點評 本題考查的是正方形的性質、平行線分線段成比例定理以及全等三角形的判定和性質，掌握相關的性質定理、靈活運用類比思想是解題的關鍵．