Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，BD=DC，BE=AF，EF交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：DE=DF；
（2）求證：△DEG∽△DCF；
（3）如果AB=3BE，BE=2，求出所有與△BDE相似的三角形的面積．

Answer 1

解：（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=DC，
∴AD=BC=CD，且∠BAD=∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE=AF，
∴AE=CF，
∵AD=CD，∠BAD=∠C，AE=CF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，

（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠EDG=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF+∠EDG=90°，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠C，
∵∠EDG=∠CDF，∠DEF=∠C，
∴△DEG∽△DCF，

（3）作EH⊥BC于H．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∵BE=2，
∴EH=BH=2，
∴S_△BDE=6，
∵AB=3BE，
∴AE=4，BD=3BH=6，
∴HD=4，
∴在Rt△DEH中，DE==2，
∴DF=DE=2，
∴△BDE∽△ADF∽△FDG∽△AEG，
∵S_△ADF：S_△BDE=DA²：BD²=1，
∴S_△ADF=S_△BDE=6；
∵S_△FDG：S_△BDE=DF²：BD²=（2）²：6²=5：9，
∴S_△FDG=×6=，
∵S_△AEG：S_△BDE=AE²：BD²=（4）²：6²=8：9，
∴S_△AEG=．
分析：（1）由題意可知AB=AC，BE=AF，推出AE=FC，AD=CD，∠BAD=∠C=45°，推出△ADE≌△CDF，即可推出結(jié)論；
（2）根據(jù)△ADE≌△CDF，推出∠EDG=∠CDF，根據(jù)∠ADF+∠CDF=90°和∠ADF+∠EDG=90°，推出∠DEF=45°，即可推出△DEG∽△DCF；
（3）作EH⊥BC于H，根據(jù)題意可知△BDE∽△ADF∽△FDG∽△AEG，根據(jù)直角三角形的函數(shù)值推出EH的長(zhǎng)度，推出△BDE的面積，可求出AE，AB，BD，CD，AC，AF，AD等相關(guān)線段的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)中面積之比是相似比的平方，即可推出與△BDE相似的三角形的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理、正確地進(jìn)行計(jì)算、正確地作出輔助線．