Question

數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下框中的題目

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）特殊情況•探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系．請你直接寫出結(jié)論：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例啟發(fā)，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，（請你接著繼續(xù)完成以下解答過程）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線上AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為3，AE=5，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠D=∠ECB=30°，求出∠D=∠DEB，求出DB=BE，BE=AE，即可得出答案；
（2）作EF∥BC，證△DBE≌△EFC，推出AE=EF=DB，即可得出答案；
（3）分為四種情況：畫出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CD即可．

解答：解：（1）答案為：=．

（2）答案為：=．
證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中

ED=BC ∠DEB=∠ECF EB=FC

，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=．

（3）解：分為四種情況：
第一種情況：如圖1：

∵AB=AC=3，AE=5，
∴B是AE的中點(diǎn)，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=3，△ACE是直角三角形（根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=4（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），
即CD=3+4=7．
第二種情況：如圖2，


過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，
∵等邊三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN=

1

2

BC=

3

2

，BM=

1

2

BE=

1

2

×（3+5）=4，CM=MD=4-3=1，AN∥EM，
∴CD=2CM=2；
第三種情況：如圖3，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理，
∴此時(shí)不存在EC=ED；

第四種情況：如圖4，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此時(shí)ED≠EC，
∴此時(shí)情況不存在，
答：CD的長是7或2．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定的理解和運(yùn)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．