Question

15．在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x₁，y₁），點Q的坐標為（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”，如圖為點P，Q的“相關矩形”示意圖．
（1）已知點A的坐標為（1，0），
①若點B的坐標為（3，1），求點A，B的“相關矩形”的面積；
②點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；
（2）⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，點M的坐標為（m，3），若在⊙O上存在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①由相關矩形的定義可知：要求A與B的相關矩形面積，則AB必為對角線，利用A、B兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度，進而可求出該矩形的面積；
②由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；
（2）由定義可知，MN必為相關矩形的對角線，若該相關矩形的為正方形，即直線MN與x軸的夾角為45°，由因為點N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點，由此可以求出m的范圍．

解答 解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）
由定義可知：點A，B的“相關矩形”的底與高分別為2和1，
∴點A，B的“相關矩形”的面積為2×1=2；
②由定義可知：AC是點A，C的“相關矩形”的對角線，
又∵點A，C的“相關矩形”為正方形
∴直線AC與x軸的夾角為45°，
設直線AC的解析為：y=x+m或y=-x+n
把（1，0）分別y=x+m，
∴m=-1，
∴直線AC的解析為：y=x-1，
把（1，0）代入y=-x+n，
∴n=1，
∴y=-x+1，
綜上所述，若點A，C的“相關矩形”為正方形，直線AC的表達式為y=x-1或y=-x+1；
（2）設直線MN的解析式為y=kx+b，
∵點M，N的“相關矩形”為正方形，
∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，
∴k=±1，
∵點N在⊙O上，
∴當直線MN與⊙O有交點時，點M，N的“相關矩形”為正方形，
當k=1時，
作⊙O的切線AD和BC，且與直線MN平行，
其中A、C為⊙O的切點，直線AD與y軸交于點D，直線BC與y軸交于點B，
連接OA，OC，
把M（m，3）代入y=x+b，
∴b=3-m，
∴直線MN的解析式為：y=x+3-m
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，
∴OD=$\sqrt{2}$OA=2，
∴D（0，2）
同理可得：B（0，-2），
∴令x=0代入y=x+3-m，
∴y=3-m，
∴-2≤3-m≤2，
∴1≤m≤5，
當k=-1時，把M（m，3）代入y=-x+b，
∴b=3+m，
∴直線MN的解析式為：y=-x+3+m，
同理可得：-2≤3+m≤2，
∴-5≤m≤-1；
綜上所述，當點M，N的“相關矩形”為正方形時，m的取值范圍是：1≤m≤5或-5≤m≤-1

點評 本題考查新定義問題，涉及圓的切線性質，矩形的性質，正方形的性質，解答本題需要我們理解相關矩形的定義，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將新舊知識貫穿起來．