Question

已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，F(xiàn)是DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A、FB與⊙O分別交于M、G，GE與⊙O交于N．
（1）求證：AB平分∠MAN；
（2）若⊙O的半徑為5，F(xiàn)E=2CE=6，求線段AN的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接AG，則∠AGF=∠AEF=90°，
∴AF的中點(diǎn)到A、E、G、F四點(diǎn)的距離相等，即A、E、G、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
∴弦FG所對(duì)的圓周角∠FAG=∠FEG．
∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°，
∴∠BAG=∠BFE．
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，
∴∠MAB=∠NGB．
∵∠NGB=∠NAB，
∴∠MAB=∠NAB．
∴AB平分∠MAN．

（2）解：連接OC、BM，
∵OC=5，CE=3，
∴在Rt△OEC中得OE=4．
∴AE=9．
在Rt△AEF，EF=6，
∴．
∵AB=10，由Rt△ABM∽R(shí)t△AFE得，
∴．
∵AB平分∠MAN，
∴．
分析：（1）連接AG，由直徑對(duì)的圓周角是直角和垂徑定理知∠AGF=∠AEF=90°，則A、E、G、F四點(diǎn)在以AF為直徑的圓上，AF的中點(diǎn)是此圓的圓心，故有AF的中點(diǎn)到A、E、G、F四點(diǎn)的距離相等，由圓周角定理知，弦FG所對(duì)的圓周角∠FAG=∠FEG，由同角的余角相等知，∠BAG=∠BFE，由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和知，∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，有∠MAB=∠NGB由圓周角定理知∠NGB=∠NAB故有∠MAB=∠NAB即AB平分∠MAN；
（2）連接OC、BM，由已知有OC=5，CE=3，則在Rt△OEC中由勾股定理得OE=4，所以AE=OA+OE=9，在Rt△AEF中EF=6，由勾股定理得，易得Rt△ABM∽R(shí)t△AFE得，可求由（1）知AB平分∠MAN，故．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，四點(diǎn)共圓的判定，直角三角形和相似三角形的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，同角的余角相等求解．