Question

【題目】如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過(guò)C作CD⊥PA，垂足為D．

（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若CD=2AD，⊙O的直徑為20，求線段AC、AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC．

∵點(diǎn)C在⊙O上，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵CD⊥PA，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAD=∠DCA=90°，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°，

∴CD是⊙O切線．

（2）

解：作OF⊥AB于F，

∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，

∴四邊形CDFO是矩形，

∴OC=FD，OF=CD，

∵CD=2AD，設(shè)AD=x，則OF=CD=2x，

∵DF=OC=10，

∴AF=10﹣x，

在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，

∴（10﹣x）2+（2x）2=102，

解得x=4或0（舍棄），

∴AD=4，AF=6，AC=4 ，

∵OF⊥AB，

∴AB=2AF=12．

【解析】（1）欲證明CD為⊙O的切線，只要證明∠OCD=90°即可．（2）作OF⊥AB于F，設(shè)AD=x，則OF=CD=2x，在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．