Question

（2012•懷柔區(qū)一模）已知：關(guān)于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）a取何整數(shù)值時(shí)，關(guān)于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數(shù)；
（2）若拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，頂點(diǎn)為M，當(dāng)k為何值時(shí)，一次函數(shù)y=

1

3

kx+k的圖象必過點(diǎn)M．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，原方程是一元一次方程，可求出方程的解為1，方程的根是整數(shù)，當(dāng)a≠1，原方程為一元二次方程，首先求出根的判別式△，然后求出方程的兩根，根據(jù)方程的根是整數(shù)求出a的值，
（2）首先根據(jù)拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，求出a的值，然后求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入解析式求出k的值．

解答：解：（1）當(dāng)a-1=0時(shí)，即a=1時(shí)，原方程變?yōu)?2x+2=0．方程的解為 x=1；
當(dāng)a-1≠0時(shí)，原方程為一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）•2=（a-3）²≥0
x=

(a-1)±(a-3)

2(a-1)

，
解得x1=1，x2=

2

a-1

．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數(shù)．
∴只需

2

a-1

為整數(shù)
∴當(dāng)a-1=±1時(shí)，即a=2或a=0時(shí)，x=1或x=-2；
當(dāng)a-1=±2時(shí)，即a=3或a=-1時(shí)，x=1或x=-1；
∴a取0，-1，1，2，3時(shí)，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數(shù)．

（2）∵拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，
∴-

b

2a

=-1，
∴a=

1

3

．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，

8

3

）．
把M點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=

1

3

kx+k中，則k=4．
故當(dāng)k=4時(shí)，一次函數(shù)y=

1

3

kx+k的圖象必過點(diǎn)M．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及對稱軸的特點(diǎn)，此題難度不大．