Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB=DC，BC=2AD=4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC邊的中點(diǎn)為E．
求：（1）判斷△ADE的形狀，并說明理由，并求其周長．
（2）求AB的長．

Answer 1

解：（1）△ADE是等邊三角形，
∵BD⊥CD，AC⊥AB，
∴△ABC，△CDB是直角三角形，
又∵E是BC邊上的中點(diǎn)，
∴AE=BC，DE=BC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴AE=DE，
又∵BC=2AD（即AD=BC），
∴AE=DE=AD，
∴它是等邊三角形；
∵BC=2AD=4cm，
∴AD=2，
∴△ADE的周長=2+2+2=6cm．

（2）∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=DE=2及∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DEC=60°，
又E為BC邊的中點(diǎn)，BE=BC=2，
∴BE=AE，
∴△ABE為等邊三角形，
∴AB=2．
分析：（1）由已知條件BD⊥CD，AC⊥AB，可知△ABC，△CDB是直角三角形，可得AE=DE=BC，又AD=BC，由此得出：△ADE是等邊三角形．
（2）由△ADE是等邊三角形，易證明△ABE為等邊三角形，即可求出AB的長．
點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，難度較大，做題時(shí)要靈活運(yùn)用題中給出的已知條件，熟悉等腰梯形的性質(zhì)．