【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm.點P、Q是BC邊上兩個動點(點Q在點P右邊),PQ=2cm,點P從點C出發(fā),沿CB向右運動,運動時間為t秒.5s后點Q到達點B,點P、Q停止運動,過點Q作QD⊥BC交AB于點D,連接AP,設(shè)△ACP與△BQD的面積和為S(cm),S與t的函數(shù)圖像如圖2所示.
(1)圖1中BC= cm,點P運動的速度為 cm/s;
(2)t為何值時,面積和S最小,并求出最小值;
(3)連接PD,以點P為圓心線段PD的長為半徑作⊙P,當⊙P與的邊相切時,求t的值.
【答案】(1)12 , 2;(2)當t=2時,面積和S最小,最小為21cm2. (3)當t=1或時⊙P與△ABC的邊相切
【解析】
(1)根據(jù)題意知,點Q與點B重合時,△ACP的面積為30,依據(jù)三角形面積公式可得PC的長為10,由PQ=2得BC的長為12,根據(jù)“速度=路程÷時間”可求出點P的速度;
(2)分別求出PC=2t,BQ=10-2t,DQ=5-t,利用三角形面積公式得到二次函數(shù)關(guān)系式,進行配方即可求出最值;
(3)分⊙P與AB邊和AC邊相切兩種情況進行分類討論求解即可.
(1)當點Q與點B重合時,△ACP的面積=30,
∴
∵AC=6cm,
∴PC=10cm,
∴BC=PC+PQ=10+2=12cm,
∴點P的速度為:10÷5=2(cm/s);
(2)由題可知PC=2t,BQ=12-2-2t=10-2t,
∵DQ⊥BC,AC⊥BC,
∴DQ∥AC,
∴△DQB∽△ACB,
∴,即
∴DQ=5-t
∴S==
∴當t=2時,面積和S最小,最小為21cm2.
(3)⊙P與BC邊不可能相切
i) ⊙P與AB邊相切時△PQD∽△ACB,
∴,
∴t=1
ii)⊙P與AC邊相切時
在Rt△PQD中,,
∴
∴t=或t=(舍去),
綜上當t=1或時⊙P與△ABC的邊相切.
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【題目】隨著城市化建設(shè)的發(fā)展,交通擁堵成為上班高峰時難以避免的現(xiàn)象.為了解龍泉驛某條道路交通擁堵情況,龍泉某中學(xué)同學(xué)經(jīng)實地統(tǒng)計分析研究表明:當時,車流速度v(千米/小時)是車流密度x(輛/千米)的一次函數(shù).當該道路的車流密度達到220輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時;當車流密度為95輛/千米時,車流速度為50千米/小時.
(1)當時,求車流速度v(千米/小時)與車流密度x(輛/千米)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為使該道路上車流速度大于40千米/小時且小于60千米/小時,應(yīng)控制該道路上的車流密度在什么范圍內(nèi)?
(3)車流量(輛/小時)是單位時間內(nèi)通過該道路上某觀測點的車輛數(shù),即:車流量=車流速度×車流密度.當時,求該道路上車流量y的最大值.此時車流速度為多少?
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【題目】(10分)如圖,一小球從斜坡O點處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫.
(1)請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標;
(2)小球的落點是A,求點A的坐標;
(3)連接拋物線的最高點P與點O、A得△POA,求△POA的面積;
(4)在OA上方的拋物線上存在一點M(M與P不重合),△MOA的面積等于△POA的面積.請直接寫出點M的坐標.
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【題目】某果農(nóng)在其承包的果園中種植了60棵桔子樹,每棵桔子樹的產(chǎn)量是100kg,果農(nóng)想增加桔子樹的棵數(shù)來增產(chǎn),但增加果樹會導(dǎo)致每棵樹的光照減少,使得單棵果樹產(chǎn)量減少,試驗發(fā)現(xiàn)每增加1棵桔子樹,單棵桔子樹的產(chǎn)量減少0.5kg.
(1)在投入成本最低的情況下,增加多少棵桔子樹時,可以使果園總產(chǎn)量達到6650kg?
(2)設(shè)增加x棵桔子樹,考慮實際增加桔子樹的情況,10≤x≤40,請你計算一下,果園總產(chǎn)量最多為多少kg,最少為多少kg?
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【題目】為了解某校初三學(xué)生上周末使用手機的情況(選項:A.聊天;B.學(xué)習;C.購物;D.游戲;E.其他),隨機抽查了該校初三若干名學(xué)生,對其上周末使用手機的情況進行統(tǒng)計(每個學(xué)生只選一個選項),繪制了統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖.
選項 | 人數(shù) | 頻率 |
A | 15 | 0.3 |
B | 10 | m |
C | 5 | 0.1 |
D | n | |
E | 5 | 0.1 |
根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)這次調(diào)查的樣本容量是 ;
(2)統(tǒng)計表中m= ,n= ,補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校初三有540名學(xué)生,請估計該校初三學(xué)生上周末利用手機學(xué)習的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y1:y=2(x﹣3)2+1和拋物線y2:y=﹣2x2﹣8x﹣3,若無論k取何值,直線y=kx+km+n被兩條拋物線所截的兩條線段都保持相等,則m=_____,n=_____.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點,且與x軸交于點C,與y軸交于點D,A點的橫坐標與B點的縱坐標都是3.
(1)求一次函數(shù)的表達式;
(2)求△AOB的面積;
(3)寫出不等式kx+b>﹣的解集.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點H,點F是上一點,連接AF交CD的延長線于點E.
(1)求證:△AFC∽△ACE;
(2)若AC=5,DC=6,當點F為的中點時,求AF的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A(3,0),B(3,4).
(1)畫出△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A'OB',并寫出點A',B'的坐標;
(2)求線段AB在上述旋轉(zhuǎn)過程中掃過的區(qū)域面積.
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