Question

（2002•西城區(qū)）已知：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B和點(diǎn)C在x軸上（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊），點(diǎn)C在原點(diǎn)的右邊，作BE⊥AC，垂足為E（點(diǎn)E在線段AC上，且點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），直線BE與y軸交于點(diǎn)D．若BD=AC
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)OC長為m，△BOD的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)m=5時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及sin∠BDO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分兩種情況，
①當(dāng)B在原點(diǎn)左邊時(shí)，利用同角的余角相等，得到∠1=∠2，再證△AOC≌△BOD，得到OA=OB，因?yàn)锳（0，4），所以B（-4，0）；
②當(dāng)B在原點(diǎn)右邊時(shí)，同①可證OA=OB=4，所以B（4，0）；
（2）分兩種情況：當(dāng)B在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，因?yàn)椤鰽OC≌△BOD，所以O(shè)C=DO=m，即可得到S=OB•OD=2m（0＜m＜4）；當(dāng)B在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，同理可得S=2m（m＞4）；
（3）因?yàn)閙=5時(shí)，OD=OC=5，D只能在原點(diǎn)下方，所以D（0，-5），在Rt△BOD中，由勾股定理得BD，即可求出答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意，分兩種情況：
①當(dāng)B在原點(diǎn)左邊時(shí)，如圖1，
∵∠AOC=∠BOD=90°，∠1+∠3=∠3+∠2，
∴∠1=∠2，
∵AC=BD，
∴△AOC≌△BOD，
∴OA=OB，
∵A（0，4），
∴B（-4，0）；
②當(dāng)B在原點(diǎn)右邊時(shí)，同①可證OA=OB=4，
∴B（4，0）
∴B（-4，0），或（4，0）；

（2）當(dāng)B在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
∵△AOC≌△BOD，
∴OC=DO=m，
∴S=OB•OD=2m（0＜m＜4），
當(dāng)B在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，同理可得S=2m，（m＞4），
∴S=2m，（m＞0，m≠4）；

（3）當(dāng)m=5時(shí)，OD=OC=5，
根據(jù)題意，D只能在原點(diǎn)下方，
∴D（0，-5），
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=，
∴sin∠BDO=．
點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，利用勾股定理和全等三角形即可解決問題．