Question

如圖1，點C位線段BG上一點，分別以BC、CG為邊向外作正方形BCDA和正方形CGEF，使點D落在線段FC上，連接AE，點M位AE中點
（1）求證：MD=MF，MD⊥MF
（2）如圖2，將正方形CGEF繞點C順時針旋轉45°，其他條件不變，探究：線段MD、MF的關系，并加以證明；
（3）如圖3，將正方形AGEF繞點C旋轉任意角度后，其他條件不同，探究：線段MD、MF的關系，并加以證明．

Answer 1

證明：（1）如圖1，延長DM交FE于N，
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠1=∠2，
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN，
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵FC=FE，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD；

（2）MD=MF，MD⊥MF．
如圖2，延長DM交CE于N，連接FD、FN．
∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2．
又∵AM=EM，∠3=∠4，
∴△ADM≌△ENM，
∴AD=EN，MD=MN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠NEF=45°，F(xiàn)C=FE，∠CFE=90°．
又∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=∠NEF=45°，
∴△FDC≌△FNE，
∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，
∴△DFN為等腰直角三角形，且FM為斜邊DN上的中線，
∴MD=MF，MD⊥MF；

（3）FM⊥MD，MF=MD．
如圖3，過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，AD∥EH，
∴∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=NM，AD=EN．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴AD=DC，F(xiàn)C=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF．
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°．
∴FM⊥MD，MF=MD．
分析：（1）如圖1，延長DM交FE于N，根據AM=ME，AD∥EF證明△AMD≌△EMN，得出NE=AD=DC，DM=MN，又FE=FC，可得FD=FN，則△DFN為等腰直角三角形，F(xiàn)M為斜邊DN上的中線，可證MD=MF，MD⊥MF；
（2）MD=MF，MD⊥MF．如圖2，延長DM交CE于N，連接FD、FN，同（1）方法證明△ADM≌△ENM，得DM=MN，利用“SAS”證明，△FDC≌△FNE，得FD=FN，∠5=∠6，可證∠DFN=90°，△DFN為等腰直角三角形，F(xiàn)M為斜邊DN上的中線，可證MD=MF，MD⊥MF；
（3）FM⊥MD，MF=MD．如圖3，過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN，利用（1）的方法證明，△AMD≌△EMN，以下證明方法同（2）．
點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質．關鍵是根據（1）得出證明問題的一般方法，在圖形變化過程中，尋找不變的關系．