已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且在x軸的正半軸上截得的線段長(zhǎng)為4,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m.過(guò)點(diǎn)A的直線繞點(diǎn)A ( m,0 ) 旋轉(zhuǎn),交拋物線于點(diǎn)B ( x,y ),交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸的直線與直線x=m交于點(diǎn)D,設(shè)△AOB的面積為S1,△ABD的面積為S2
(1)求這條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)判斷S1與S2的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且在x軸的正半軸上截得的線段的長(zhǎng)為4,得出c=0,圖象與x軸的交點(diǎn)A、E的坐標(biāo),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,代入即可求出答案;
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)的直線為y=kx+b(k≠0),代入求出y=-
b
2
x+b.設(shè)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(x1,-
b
2
x+b),點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(x2,-
b
2
x+b).當(dāng)交點(diǎn)為B1時(shí),根據(jù)三角形的面積公式求出即可;當(dāng)交點(diǎn)為B2時(shí),根據(jù)三角形的面積公式求出即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且在x軸的正半軸上截得的線段的長(zhǎng)為4,
∴c=0,A(2,0),圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2.
∴拋物線為y=x2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(4,0).
∴b=-4,∴y=x2-4x.
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4).
答:這條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,-4).

(2)答:S1與S2的大小關(guān)系是S1=S2
證明:設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)的直線為y=kx+b(k≠0),
∴0=2k+b.∴k=-
1
2
b,
∴y=-
b
2
x+b,
∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(x1,-
b
2
x+b),
點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(x2,-
b
2
x+b),
當(dāng)交點(diǎn)為B1時(shí),
S1=
1
2
×2×|-
b
2
x1+b|=b-
b
2
x1
S2=
1
2
×|b|×|2-x1|=b-
b
2
x1,
∴S1=S2,
當(dāng)交點(diǎn)為B2時(shí),
S1=
1
2
×2×|-
b
2
x2+b|=-
b
2
x2+b,
S2=
1
2
×|b|×|x2-2|=-
b
2
x2+b,
∴S1=S2,
綜上所述,S1=S2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)三角形的面積,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.
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已知拋物線y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2).
(1)求a的取值范圍,并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)O的左側(cè);
(2)若拋物線與y軸交于點(diǎn)C,且OA+OB=OC-2,求a的值.

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精英家教網(wǎng)(1)求b+c的值;
(2)若點(diǎn)C在拋物線上,且四邊形OABC是平行四邊形,試求拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,作∠OBC的角平分線,與拋物線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•虹口區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(0,3),B(1,0)兩點(diǎn),頂點(diǎn)為M.
(1)求b、c的值;
(2)將△OAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A落到點(diǎn)C的位置,該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,求平移后所得拋物線的表達(dá)式;
(3)設(shè)(2)中平移后所得的拋物線與y軸的交點(diǎn)為A1,頂點(diǎn)為M1,若點(diǎn)P在平移后的拋物線上,且滿(mǎn)足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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