Question

已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在x軸的正半軸上截得的線段長(zhǎng)為4，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m．過(guò)點(diǎn)A的直線繞點(diǎn)A （ m，0 ） 旋轉(zhuǎn)，交拋物線于點(diǎn)B （ x，y ），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸的直線與直線x=m交于點(diǎn)D，設(shè)△AOB的面積為S₁，△ABD的面積為S₂．
（1）求這條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）判斷S₁與S₂的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在x軸的正半軸上截得的線段的長(zhǎng)為4，得出c=0，圖象與x軸的交點(diǎn)A、E的坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，代入即可求出答案；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線為y=kx+b（k≠0），代入求出y=-

b

2

x+b．設(shè)點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（x₁，-

b

2

x+b），點(diǎn)B₂的坐標(biāo)為（x₂，-

b

2

x+b）．當(dāng)交點(diǎn)為B₁時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；當(dāng)交點(diǎn)為B₂時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在x軸的正半軸上截得的線段的長(zhǎng)為4，
∴c=0，A（2，0），圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2．
∴拋物線為y=x²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（4，0）．
∴b=-4，∴y=x²-4x．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4）．
答：這條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，-4）．

（2）答：S₁與S₂的大小關(guān)系是S₁=S₂．
證明：設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線為y=kx+b（k≠0），
∴0=2k+b．∴k=-

1

2

b，
∴y=-

b

2

x+b，
∴點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（x₁，-

b

2

x+b），
點(diǎn)B₂的坐標(biāo)為（x₂，-

b

2

x+b），
當(dāng)交點(diǎn)為B₁時(shí)，
S₁=

1

2

×2×|-

b

2

x₁+b|=b-

b

2

x₁，
S₂=

1

2

×|b|×|2-x₁|=b-

b

2

x₁，
∴S₁=S₂，
當(dāng)交點(diǎn)為B₂時(shí)，
S₁=

1

2

×2×|-

b

2

x₂+b|=-

b

2

x₂+b，
S₂=

1

2

×|b|×|x₂-2|=-

b

2

x₂+b，
∴S₁=S₂，
綜上所述，S₁=S₂．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．