Question

關(guān)于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根時(shí)，求k的正整數(shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,一元一次方程的解

專題：證明題

分析：（1）分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，方程變形一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)k≠0時(shí)，計(jì)算判別式得到△=（3k-1）²，由此得到△≥0，由此判斷當(dāng)k≠0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）利用求根公式法解方程得到x₁=-

1

k

，x₂=-3，根據(jù)整數(shù)的整除性可得到k為正整數(shù)1．

解答：（1）證明：當(dāng)k=0時(shí)，方程變形為x+3=0，解得x=-3；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=（3k+1）²-4•k•3=（3k-1）²，
∵（3k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴當(dāng)k≠0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：根據(jù)題意得k≠0且△=（3k+1）²-4•k•3=（3k-1）²，
x=

-(3k+1)±(3k-1)

2k

，
∴x₁=-

1

k

，x₂=-3，
當(dāng)k為正整數(shù)1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．