Question

26．（1）教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a²+b²=c²．圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導勾股定理．

（2）試用勾股定理解決以下問題：

如果直角三角形ABC的兩直角邊長為3和4，則斜邊上的高為　　

（3）試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a﹣2b）²=a²﹣4ab+4b²，畫在下面的網(wǎng)格中，并標出字母a、b所表示的線段．

Answer 1

考點：

勾股定理的證明；完全平方公式的幾何背景；勾股定理．.

專題：

計算題．

分析：

（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；

（2）由兩直角邊，利用勾股定理求出斜邊長，再利用面積法即可求出斜邊上的高；

（3）已知圖形面積的表達式，即可根據(jù)表達式得出圖形的邊長的表達式，即可畫出圖形．

解答：

解：（1）梯形ABCD的面積為（a+b）（a+b）=a²+ab+b²，

也利用表示為ab+c²+ab，

∴a²+ab+b²=ab+c²+ab，即a²+b²=c²；

（2）∵直角三角形的兩直角邊分別為3，4，

∴斜邊為5，

∵設(shè)斜邊上的高為h，直角三角形的面積為×3×4=×5×h，

∴h=；

（3）∵圖形面積為：（a﹣2b）²=a²﹣4ab+4b²，

∴邊長為a﹣2b，

由此可畫出的圖形為：

故答案為：（2）．

點評：

此題考查了勾股定理的證明，勾股定理，多項式的乘法的運用以及由多項式畫圖形的創(chuàng)新題型，此類證明要轉(zhuǎn)化成同一個東西的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達到證明的結(jié)果．