Question

如圖，直線y=kx+b交x軸于點(diǎn)A（-1，0），交y軸于B點(diǎn)，tan∠BAO=3；過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．
（1）求直線AB的表達(dá)式；
（2）求拋物線的表達(dá)式；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0），交y軸于B點(diǎn)，tan∠BAO=3；
∴3AO=BO，
∴B（0，3），
將A（-1，0），B（0，3）代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=3x+3；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題意，得
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3

（3）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，設(shè)Q（1，a），
①當(dāng)AQ=BQ時(shí)，如圖，

由勾股定理可得
BQ==，
AQ==得：
=，
解得：a=1，
∴Q（1，1）；
②如圖：

當(dāng)AB是腰時(shí)，Q是對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)時(shí)，AB=BQ，
∴=
解得：a=0或6，
當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6）時(shí)，其在直線AB上，A、B和Q三點(diǎn)共線，舍去，
則此時(shí)Q的坐標(biāo)是（1，0）；
③當(dāng)AQ=AB時(shí)，如圖：

=，
解得a=±，
則Q的坐標(biāo)是（1，）和（1，-）．
綜上所述：Q（1，1），（1，0），（1，），（1，-）．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A（-1，0），交y軸于B點(diǎn)，tan∠BAO=3得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（3）將拋物線化為頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱軸對(duì)稱軸，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，利用等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式與等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度適中，注意分類討論思想，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，還要注意不要漏解．