在平面直角坐標系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐上,且點A(0,2),點C(,0),如圖所示:拋物線經(jīng)過點B。

(1)求點B的坐標;

(2)求拋物線的解析式;

(3)在拋物線上是否還存在點P(點B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點P的坐標;若不存在,請說明理由。

 

【答案】

(1)(-3,1);(2)y=x2+x-2;(3)P1(1,-1)、P2(2,1).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意,過點B作BD⊥x軸,垂足為D;根據(jù)角的互余的關系,易得B到x、y軸的距離,即B的坐標;

(2)根據(jù)拋物線過B點的坐標,可得a的值,進而可得其解析式;

(3)首先假設存在,分A、C是直角頂點兩種情況討論,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得答案.

試題解析:(1)過點B作BD⊥x軸,垂足為D,

∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,

∴∠BCD=∠CAO,

又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,

∴△BCD≌△CAO,

∴BD=OC=1,CD=OA=2,

∴點B的坐標為(-3,1);

(2)拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點B(-3,1),則得到1=9a-3a-2,

解得a=,

所以拋物線的解析式為y=x2+x-2;

(3)假設存在點P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:

①若以點C為直角頂點;則延長BC至點P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,

過點P1作P1M⊥x軸,

∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,

∴△MP1C≌△DBC.

∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得點P1(1,-1);

②若以點A為直角頂點;

則過點A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,

過點P2作P2N⊥y軸,同理可證△AP2N≌△CAO,

∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得點P2(2,1),

經(jīng)檢驗,點P1(1,-1)與點P2(2,1)都在拋物線y=x2+x-2上.

考點: 二次函數(shù)綜合題.

 

練習冊系列答案
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2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點C,求點C的坐標及直線AC的函數(shù)解析式;
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18、在平面直角坐標系中,把一個圖形先繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點為位似中心,相似比為k得到一個新的圖形,我們把這個過程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點為位似中心,相似比為2得到一個新的圖形△A1B1C1,可以把這個過程記為【90°,2】變換.
(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點坐標分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點M的對應點M′的坐標為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

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