Question

14．BA與⊙O相切，切點為A，連接OB交⊙O于點C．
（I）如圖1，若∠ABO=30°，求證：BC=OC；
（2）如圖2，若BC：OC=2：3，求△ABO的正切值：

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OA，AC，根據(jù)切線的性質得到∠BAO=90°，根據(jù)直角三角形的性質得到OA=$\frac{1}{2}$OB，根據(jù)等腰三角形的性質即可得到結論；
（2）如圖2，連接OA，AC，由BA與⊙O相切，得到∠BAO=90°，設BC=2x，OC=3x，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{B{O}^{2}-O{A}^{2}}$=4x，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，連接OA，AC，
∵BA與⊙O相切，
∴∠BAO=90°，
∵∠ABO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB，
∵OA=OC，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB，
∴BC=OC；

（2）如圖2，連接OA，AC，
∵BA與⊙O相切，
∴∠BAO=90°，
∵BC：OC=2：3，
設BC=2x，OC=3x，
∴OA=OC=3x，OB=5x，
∴AB=$\sqrt{B{O}^{2}-O{A}^{2}}$=4x，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{AB}=\frac{3x}{4x}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了切線的性質，含30°角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，連接OA構造直角三角形是解題的關鍵．