Question

已知拋物線(xiàn)y=-x²+3x+4交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)）．過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線(xiàn)l．在位于直線(xiàn)l下方的拋物線(xiàn)上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PQ平行于y軸交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q．連接AP．
（1）寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P位于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)：
①如果以A，P，Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若將△APQ沿AP對(duì)折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M．是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)M落在x軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式即可得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）①分兩種情況討論，①△PQA∽△AOC，②△AQP∽△AOC，繼而根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn)Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），從而表示出PQ，結(jié)合△AEM∽△MFP，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于x的方程，繼而解出后檢驗(yàn)即可得出答案．
解答：解：（1）由題意得，y=-x²+3x+4=-（x-4）（x+1），
故可得：A（0，4），B（4，0），C（-1，0），

（2）
過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)交l于E，交另一條直線(xiàn)于F，
①1）若△PQA∽△AOC，則=，即=，解得：x=7；
2）若△AQP∽△AOC，則=，即=，
解得：x=
綜合1）2）可得點(diǎn)P均在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
②設(shè)點(diǎn)Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），則PQ=x²-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
則有．
∵M(jìn)E=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x²-3x，
∴．
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM²+OA²=AM²，
∴（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5，均在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（5，-6）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題目，難點(diǎn)在第二問(wèn)，①需要注意討論，不要漏解，②需要注意先設(shè)出點(diǎn)P及點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用相似三角形及勾股定理的知識(shí)進(jìn)行求解，難度較大．