如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6米,BC=8米,動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒得速度從A點(diǎn)出發(fā),沿AC向C移動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒得速度從C點(diǎn)出發(fā),沿CB向B移動(dòng)。當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),他們都停止移動(dòng),設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒。
(1)①當(dāng)t=2.5秒時(shí),求△CPQ的面積;
②求△CPQ的面積S(平方米)關(guān)于時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在P、Q移動(dòng)的過程中,當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí),寫出t的值;
(3)以P為圓心,PA為半徑的圓與以Q為圓心,QC為半徑的圓相切時(shí),求出t的值。
解:在Rt△ABC中,AB=6米,BC=8米,∴AC=10米
由題意得:AP=2t,CQ=10-2t
(1)①過點(diǎn)P作PD⊥BC于D。
∵t=2.5,AP=2×2.5=5,QC=2.5
∴PD=AB=3,∴S=×QC×PD=3.75
②過點(diǎn)Q作QE⊥PC于點(diǎn)E
易知Rt△QEC∽R(shí)t△ABC,∴,QE=
∴S=
(2)當(dāng)秒(此時(shí)PC=QC),秒(此時(shí)PQ=QC),或秒(此時(shí)PQ=PC)△CPQ為等腰三角形;
(3)過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F,則有△PCF∽△ACB
∴,即
∴PF=,F(xiàn)C=
則在Rt△PFQ中,
當(dāng)⊙P與⊙Q外切時(shí),有PQ=PA+QC=3t,此時(shí)
整理得:,解得
故⊙P與⊙Q外切時(shí),;
當(dāng)⊙P與⊙Q內(nèi)切時(shí),有PQ=PA-QC=t,此時(shí)
整理得:,解得
故⊙P與⊙Q內(nèi)切時(shí)
解析
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