Question

11、（1）有n個(gè)整數(shù)，其和為零，其積為n．求證：n是4的倍數(shù)；
（2）設(shè)n是4的倍數(shù)，求證：可以找到n個(gè)整數(shù)，其積為n，其和為零．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出n個(gè)整數(shù)，列出a₁a₂…a_n=n，a₁+a₂+…+a_n=0；進(jìn)一步利用數(shù)的奇偶性解答即可；
（2）設(shè)n=4k，分k為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，利用1或-1的特殊性質(zhì)解答即可．

解答：證明：（1）設(shè)n個(gè)整數(shù)為a₁，a₂，…，a_n，由題意得，
a₁a₂…a_n=n，a₁+a₂+…+a_n=0；
如果n為奇數(shù)，那么a₁，a₂，…，a_n均為奇數(shù)，于是a₁+a₂+…+a_n是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和，不可能為0，所以n必為偶數(shù)，從而a₁，a₂，…，a_n中至少有一個(gè)是偶數(shù)；
又若a₁，a₂，…，a_n中只有一個(gè)偶數(shù)，設(shè)為a₁，則a₂+a₃+…+a_n是奇數(shù)個(gè)（n-1個(gè)）奇數(shù)之和，故必為奇數(shù)，從而a₁+a₂+…+a_n是奇數(shù)，與a₁+a₂+…+a_n=0矛盾；
故a₁，a₂，…，a_n中至少有兩個(gè)偶數(shù)，所以n=a₁a₂…a_n能被4整數(shù)．
（2）設(shè)n=4k．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，n=2•（-2k）•1^3k-2•（-1）^k，而2，-2k，（3k-2）個(gè)1與k個(gè)-1共4k個(gè)數(shù)之和為零；
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，n=（-2）（-2k）•1^3k•（-1）^k-2，而-2，-2k，3k個(gè)1與（k-2）個(gè)-1共4k個(gè)數(shù)之和為零．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)的奇偶性以及利用1或-1的一些特殊性質(zhì)解決問題．