Question

20．如圖，一次函數(shù)y₁=mx+n的圖象分別交x軸、y軸于A、C兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象于P、Q兩點(diǎn)．過點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），△PAB的面積為4．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y₁＜y₂？

Answer 1

分析 （1）由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)可求出k值的大小，從而得出反比例函數(shù)解析式；由三角形的面積公式可得出AB=4，結(jié)合點(diǎn)B坐標(biāo)可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由A、P點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）令y₁=y₂，求出x的值，從而得出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，結(jié)合兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=$\frac{4}{x}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•PB=4，
∴AB=4，
∴點(diǎn)A（-2，0）．
∵點(diǎn)A、P在一次函數(shù)圖象上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-2m+n}\\{2=2m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)解析式為y₁=$\frac{1}{2}$x+1．
（2）令y₁=$\frac{1}{2}$x+1=y₂=$\frac{4}{x}$，即x²+2x-8=0，
解得：x₁=-4，x₂=2．
即點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為-4，點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2．
結(jié)合兩函數(shù)圖象可知：
當(dāng)x＜-4和0＜x＜2時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，
則當(dāng)x＜-4或0＜x＜2時(shí)，y₁＜y₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）結(jié)合函數(shù)圖象的位置關(guān)系解不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)給定的條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是關(guān)鍵．