Question

如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（3，3）．
（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），求m的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D，求過A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；
（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)在第一象限的圖象上是否存在點(diǎn)E，使四邊形OECD的面積S₁與四邊形OABD的面積S滿足：S₁=S？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=k₁x（k₁≠0），
因?yàn)閥=k₁x的圖象過點(diǎn)A（3，3），
所以3=3k₁，解得k₁=1．
這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為y=x．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=（k₂≠0），
因?yàn)閥=的圖象過點(diǎn)A（3，3），
所以3=，
解得k₂=9．
這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)B（6，m）在y=的圖象上，
所以m==，
則點(diǎn)B（6，）．
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=k₃x+b（k₃≠0），
因?yàn)閥=k₃x+b的圖象是由y=x平移得到的，
所以k₃=1，即y=x+b．
又因?yàn)閥=x+b的圖象過點(diǎn)B（6，），
所以=6+b，
解得b=-，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-．

（3）因?yàn)閥=x-的圖象交y軸于點(diǎn)D，
所以D的坐標(biāo)為（0，-）．
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
因?yàn)閥=ax²+bx+c的圖象過點(diǎn)A（3，3）、B（6，）、和D（0，-），
所以，
解得，
這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-．

（4）∵交x軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（，0），
如圖所示，連接OE，CE，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BH∥y軸，交AF于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DG∥x軸，交直線BH于點(diǎn)G，則S=×6-×6×6-××3-×3×3=45-18--=．
假設(shè)存在點(diǎn)E（x₀，y₀），使S₁=S=．
∵四邊形CDOE的頂點(diǎn)E只能在x軸上方，
∴y₀＞0，
∴S₁=S_△OCD+S_△OCE==．
∴，
∴．
∵E（x₀，y₀）在二次函數(shù)的圖象上，
∴．
解得x₀=2或x₀=6．
當(dāng)x₀=6時(shí)，點(diǎn)E（6，）與點(diǎn)B重合，這時(shí)CDOE不是四邊形，故x₀=6舍去，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，）．
分析：（1）設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)發(fā)解答；
（2）因?yàn)锽點(diǎn)為三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，將B（6，m）代入已知函數(shù)y=，即可求得m的值；根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)平行，可知二者比例系數(shù)相同，再用待定系數(shù)法求出b的值；
（3）A、B坐標(biāo)已求出，D點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)一次函數(shù)解析式求得；
（4）畫出圖形，根據(jù)已知各點(diǎn)坐標(biāo)，求出相應(yīng)線段長．由于四邊形不規(guī)則，故將其面積轉(zhuǎn)化為矩形面積與三角形面積的差或幾個(gè)三角形面積的和．
點(diǎn)評：此題將初中所學(xué)三個(gè)主要函數(shù)：一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合起來，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系及不規(guī)則圖形面積的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中．