Question

10．已知：如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是A和B，把線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AB′．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C（1，a）在第一象限內(nèi)，并且S_△ABC=S_△ABB′，求a的值；
（3）P在x軸上，且△PAB是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到△AOB≌△AEB′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=OB，B′E=OA=2，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABB′=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{5}{2}$，于是得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$CM×2=|a-0.5|=$\frac{5}{2}$．即可得到結(jié)論；
（3）分三種情況，①當(dāng)AB=AP=$\sqrt{5}$時(shí)，②當(dāng)AB=BP=$\sqrt{5}$，③當(dāng)PA=PB，即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1：過(guò)B′作B′E⊥x軸于E，
∵直線y=-$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是A和B，
∴A（2，0），B（0，1），過(guò)B′作B′E⊥x軸于E，
∵∠AOB=∠B′EA=∠BAB′=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠AB′E=90°，
∴∠BAO=∠AB′E，
在△AOB與△AB′E中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠AEB′}\\{∠BAO=∠AB′E}\\{AB=AB′}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AEB′，
∴AE=OB，B′E=OA=2，
∴OE=3，
∴點(diǎn)B′（3，2）；

（2）∵△ABB′為等腰直角三角形，
直角邊AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABB′=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{5}{2}$，
在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，當(dāng)x=1時(shí)，y=0.5．
即直線x=1與AB交于點(diǎn)M（1，0.5）．
又∵點(diǎn)A和B到CM的距離之和顯然為2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CM×2=|a-0.5|=$\frac{5}{2}$．
解得a=3；

（3）①當(dāng)AB=AP=$\sqrt{5}$時(shí)，
∴OP=OA+AP=2+$\sqrt{5}$，或OP=AP-OA=$\sqrt{5}$-2，
∴P₂（2-$\sqrt{5}$，0）．P₄（2+$\sqrt{5}$，0），
②當(dāng)AB=BP=$\sqrt{5}$，
∴OP=OA=2，
∴P₁（-2，0），
③當(dāng)PA=PB，即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△APE∽△ABO，
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}=\frac{AP}{\sqrt{5}}$，
∴AP=$\frac{5}{4}$，
∴OP=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴P₃（$\frac{3}{4}$，0），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-2，0），（2-$\sqrt{5}$，0），（2+$\sqrt{5}$，0），（$\frac{3}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．