Question

問題：如圖（12），在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，是線段 的中點(diǎn)，連結(jié)．探究與的位置關(guān)系及的值．小聰同學(xué)的思路是：延長交于點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．

請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：

1.若圖（12）中，寫出線段與的位置關(guān)系及的值，并說明理由；

2.將圖（12）中的菱形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖13）．你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．

3.若圖（12）中，將菱形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）．

解：（1）線段與的位置關(guān)系是          ；         ．

 

Answer 1

 

1.線段與的位置關(guān)系是， ；………………………………4分

2.猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化．   ………………………………………5分

簡證：延長GP交AD于點(diǎn)H，連結(jié)CH，CG．

易證△GFP≌△HDP（AAS）．

 ∴GP＝HP，GF＝HD．

又易證△HDC≌△GBC

∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．

∵∠DCH ＝120°．

∵CH＝CG，GP＝HP．

∴ GP⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60° ，則．……………………10分

3.   ………………………………………………………12分

解析:（1）.按照小聰?shù)乃悸纷魍陥D之后，GF平行于AB平行于CD,P又是中點(diǎn)，∠HDP=∠GFP, ∠HPD=∠GPE,P為中點(diǎn)，所以△HDP全等于△GFP,這樣DH=GF,所以CH=CG，則有等腰△CHG，有P為HG中點(diǎn),所以PC⊥PG,因?yàn)榱庑蜛BCD∠ABC=60°度所以∠DCB=120 °CP為角平分線，∠ PCG=60°PG:PC=√3

（2） 結(jié)論不變。延長CP交AB于M，連CG,MG。因?yàn)镻是DF重點(diǎn)，所以DC=MF，CP=MP。有MF=CD=BC。考慮△CGB與△MGF，有BC=MF，∠CBG=∠MFG=60°，BG=GF，因此兩三角形全等。從而CG=MG，∠CGB=∠MGF。因?yàn)椤螩GB=∠CGM+∠GMB=∠MGF=∠FGB+∠BGM，因此∠CGM=∠FGB=60°，又有CG=GM，所以△CGM是等邊三角形，且P是CM中點(diǎn)，從而原結(jié)論在此也成立。

 

（3） 延長CP至M，使PM=PC，連MF交BG于N。易知CD‖MF‖AB。與上小問類似，可知MF=DC=BC，F(xiàn)G=BG。因?yàn)镸F‖AB，有∠ABG=∠MNG，而∠ABG=∠ABC+∠CBG，∠MNG=∠BGF+∠GFM。因?yàn)椤螦BC=∠BEF=∠BGF，所以∠CBG=∠MFG。又有BG=FG，MF=BC，所以△CBG與△MFG全等。因此與上小問類似，有CG=MG，∠CGM=∠FGB=2a。因此∠CGP=a且PG⊥PC，因此PG:PC=cot(a).