Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)．若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，求AE′，BF′的長(zhǎng)；

（2）如圖②，當(dāng)α=135°時(shí)，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′；21世紀(jì)教育網(wǎng)

（3）直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上時(shí)，分別表示出此時(shí)點(diǎn)E′、D′、F′的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．www-2-1-cnjy-com

Answer 1

解：（1）當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E′與點(diǎn)F重合，如圖①．

∵點(diǎn)A（﹣2，0）點(diǎn)B（0，2），

∴OA=OB=2．

∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)，

∴OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．

在Rt△AE′O中，

AE′=．

在Rt△BOF′中，

BF′=．

∴AE′，BF′的長(zhǎng)都等于． ———————————————4分

（2）當(dāng)α=135°時(shí)，如圖②．

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°．

在△AOE′和△BOF′中，

，

∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．

∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°

∴AE′⊥BF′．——————————————————————9分

（3）點(diǎn)E′（2，0）、D′（2，-2）、F′（0，-2）……12分