Question

【題目】已知直線y＝kx+m（k＜0）與拋物線y＝x2+bx+c相交于拋物線的頂點(diǎn)P和另一點(diǎn)Q．

（1）若點(diǎn)P（2，﹣c），Q的橫坐標(biāo)為﹣1．求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)Q作x軸的平行線與拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸相交于點(diǎn)E，直線PQ與y軸交于點(diǎn)M，若PE＝2EQ，c＝（﹣≤b＜﹣2），求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求△OMQ的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣1，7）；（2）點(diǎn)Q（﹣﹣2，﹣1）；（3）S≥．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)公式以及頂點(diǎn)P橫坐標(biāo)得出=2，求出b的值，再將點(diǎn)P（2，﹣c）代入y＝x2+bx+c中解得c的值，從而得出拋物線解析式再代入求出Q坐標(biāo)即可

（2）根據(jù)題意畫出圖像，很容易得出△MON∽△PEQ，所以＝2，再設(shè)直線PQ為y＝﹣2x+b′，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入求解之后進(jìn)一步得出答案即可

（3）根據(jù)直線PQ表達(dá)式y＝﹣2x﹣2﹣b，得出點(diǎn)M（0，﹣2﹣b），再利用S＝×OM×|xQ|＝（﹣2﹣b）（+2）之后進(jìn)行因式分解得出最大值即可

解：（1）由題意：﹣＝2，

∴b＝﹣4，∴拋物線為y＝x2﹣4x+c，將P（2，﹣c）代入得到，﹣c＝4﹣8+c，

∴c＝2，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+2，

∵點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為﹣1，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣1，7）；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝﹣，則頂點(diǎn)P（﹣b，﹣2），

則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+bx+…①，

如圖，∵PE∥y軸，QE∥x軸，

∴△MON∽△PEQ，

∴＝2，

∴設(shè)直線PQ為y＝﹣2x+b′，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式并解得：

b′＝﹣2﹣b，

則直線PQ表達(dá)式為：y＝﹣2x﹣2﹣b…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣或﹣﹣2，

則點(diǎn)Q（﹣﹣2，﹣1）；

（3）直線PQ表達(dá)式為：y＝﹣2x﹣2﹣b，則點(diǎn)M（0，﹣2﹣b），

∵﹣≤b＜﹣2，∴﹣﹣2＜0，

故S＝×OM×|xQ|＝（﹣2﹣b）（+2）＝﹣（b+3）2﹣，

∵﹣≤b＜﹣2，∴x＝﹣時(shí)，取得最大值，此時(shí)，S＝，

故S≥．