Question

以⊙O的弦AB為邊向圓外作正方形ABCD．
（1）如圖l，求證：OC=OD；
（2）如圖2，過D作DM切⊙O于M，若AB=2，DM=2

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）先連接OA、OB，根據(jù)OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，再根據(jù)ABCD是正方形，得出∠DAB=∠ABC=90°，從而證出△OAD≌△OBC中，即可而得出OC=OD；
（2）先作OH⊥AB垂足為H，延長OH交DC于點G，設半徑為r，根據(jù)AB=2，得出AH=HB=1，根據(jù)勾股定理得出OH²+1²=r²，r²+DM²=OD²，（OH+2）²+1²=OD²，求出OH的長，即可得出⊙O的半徑．

解答：解：（1）連接OA、OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠OAD=∠OBC，
在△OAD和△OBC中，

OA=OB ∠OAD=∠OBC AD=BC

，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD=OC．

（2）作OH⊥AB垂足為H，延長OH交DC于點G，
設半徑為r，則
∵AB=2，
∴AH=HB=1，
∴OH²+1²=r²，
∵DM切⊙O于M，
∴∠OMD=90°，
∴r²+DM²=OD²，
在△ODG中，
∵OG²+DG²=OD²，
∴（OH+HG）²+AH²=OD²，
∴（OH+2）²+1²=OD²，
解得：OH=1，
∴r=

12+12

=

2

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，用到的知識點是全等三角的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)，關鍵是作出輔助線，構造直角三角形．