Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），直線l與拋物線交于A，C兩點，其中點C的橫坐標為2．
（1）求A，B兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式；
（2）P是線段AC上的一個動點（P與A，C不重合），過P點作y軸的平行線交拋物線于點E，求△ACE面積的最大值；
（3）若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點D，直線AC與y軸交于點Q，點M為直線PE上一動點，則在x軸上是否存在一點N，使四邊形DMNQ的周長最小？若存在，求出這個最小值及點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）點H是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、H四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令拋物線y=x²-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B兩點的坐標，根據(jù)兩點式求出直線AC的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），求出P、E的坐標，用x表示出線段PE的長，求出PE的最大值，進而求出△ACE的面積最大值；
（3）根據(jù)D點關(guān)于PE的對稱點為點C（2，-3），點Q（0，-1）點關(guān)于x軸的對稱點為M（0，1），則四邊形DMNQ的周長最小，求出直線CM的解析式為y=-2x+1，進而求出最小值和點M，N的坐標；
（4）結(jié)合圖形，分兩類進行討論，①CF平行x軸，如圖1，此時可以求出F點兩個坐標；②CF不平行x軸，如題中的圖2，此時可以求出F點的兩個坐標．

解答：解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
將C點的橫坐標x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1，

（2）設(shè)P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），
∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴當x=

1

2

時，PE的最大值=

9

4

，
△ACE的面積最大值=

1

2

PE[2-（-1）]=

3

2

PE=

27

8

，

（3）D點關(guān)于PE的對稱點為點C（2，-3），點Q（0，-1）點關(guān)于x軸的對稱點為M（0，1），
連接CM交直線PE與M點，交x軸于N點，可求直線CM的解析式為y=-2x+1，此時四邊形DMNQ的周長最小，
最小值=|CM|+QD=2

5

+2，
求得M（1，-1），N（

1

2

，0）．

（4）存在如圖1，若AF∥CH，此時的D和H點重合，CD=2，則AF=2，

于是可得F₁（1，0），F(xiàn)₂（-3，0），
如圖2，根據(jù)點A和F的坐標中點和點C和點H的坐標中點相同，

再根據(jù)|HA|=|CF|，
求出F₄（4-

7

，0），F(xiàn)₃(4+

7

，0)．
綜上所述，滿足條件的F點坐標為F₁（1，0），F(xiàn)₂（-3，0），F(xiàn)₃(4+

7

，0)，F(xiàn)₄（4-

7

，0）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱的知識和分類討論解決問題的思路，此題難度較大．