Question

11．已知關(guān)于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）是否存在實(shí)數(shù)k使方程兩根的倒數(shù)和為2？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論：當(dāng)k=0時(shí)，方程變形一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)k≠0時(shí)，計(jì)算判別式得到△=（2k-1）²，由此得到△≥0，由此判斷當(dāng)k≠0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-$\frac{2k+1}{k}$，x₁x₂=$\frac{2}{k}$，令$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2，建立關(guān)于k的方程，解答即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，方程變形為x+2=0，解得x=-2；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=（2k+1）²-4•k•2=（2k-1）²，
∵（2k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴當(dāng)k≠0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，
∴無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）存在，
設(shè)方程兩根為x₁、x₂，
則x₁+x₂=-$\frac{2k+1}{k}$，x₁x₂=$\frac{2}{k}$，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=2，
∴$\frac{-\frac{2k+1}{k}}{\frac{2}{k}}$=2，即-$\frac{2k+1}{2}$=2，
解得：k=-$\frac{5}{2}$，
故存在實(shí)數(shù)k使方程兩根的倒數(shù)和為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義、根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．