Question

在8×8的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限內(nèi)的一個(gè)格點(diǎn)，由點(diǎn)C與線段AB組成一個(gè)以AB為底，且腰長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的等腰三角形．
（1）填空：C點(diǎn)的坐標(biāo)是______，△ABC的面積是______；
（2）將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到△A₁B₁C₁，連接AB₁、BA₁，試判斷四邊形AB₁A₁B是何種特殊四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)?zhí)骄浚涸趚軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形ABOP的面積等于△ABC面積的2倍？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不必寫出解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（1，1），4；

（2）四邊形AB₁A₁B是矩形．
∵AC=A₁C，BC=B₁C，AC=BC
∴AA₁=BB₁
∴四邊形AB₁A₁B是矩形

（3）∵S_△ABC=S_梯形ABDE+S_矩形BDCF-（S_△AEC+S_△BCF）=

1

2

×（1+3）×2+3×1-

1

2

×1×3-

1

2

×1×3=4，
∴四邊形ABOP的面積等于8．
同（1）中的方法得到三點(diǎn)A，B，O構(gòu)成的面積為6．當(dāng)P在O左邊時(shí)，△APO的面積應(yīng)為2，高為4，那么底邊長(zhǎng)為1，所以P（-1，0）；
當(dāng)P在O右邊時(shí)，△BOP的面積應(yīng)為2，高為2，所以底邊長(zhǎng)為2，此時(shí)P坐標(biāo)為（2，0）．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），（-1，0）．