Question

已知：如圖所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，A，D在同一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點，連接AM，AN，MN．
（1）求證：BE=CD；
（2）求證：△AMN是等腰三角形．

Answer 1

證明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD；

（2）∵M、N分別為BE、CD的中點，且BE=CD，
∴ME=ND，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEM=∠ADC，AE=AD，
在△AEM和△ADN中，
，
∴△AEM≌△ADN（SAS），
∴AM=AN，即△AMN為等腰三角形．
分析：（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右兩邊都加上∠CAE，得到一對角相等，再由AB=AC，AF為公共邊，利用SAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出BE=CD；
（2）由M與N分別為BE，CD的中點，且BE=CD，可得出ME=ND，由三角形ABE與三角形ACD全等，得到對應(yīng)邊AE=AD，對應(yīng)角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出三角形AME與三角形AND全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AM=AN，即三角形AMN為等腰三角形．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．