Question

【題目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．點P在是平面內不與點A，B，C重合的任意一點，連接PC，將線段PC繞點C順時針旋轉90°得到線段DC，連接AD，BP．

（1）觀察猜想

當點P在直線AC上時，如圖1，線段BP與AD的數量關系是　 　，直線BP與直線AD的位置關系是　 　；

（2）拓展探究

當點P不在直線AC上時，（1）中的數量關系和位置關系還成立嗎？并就圖2的情形說明理由；

（3）解決問題

若點M，N分別是AB和AC的中點，點P在直線MN上，請直接寫出點A，P，D在同一條直線上時的值．

Answer 1

【答案】（1）BP＝AD，BP⊥AD；（2）成立，理由見解析；（3）或

【解析】

（1）觀察猜想,如圖1，延長BP交AD于H，由“SAS”可證△ACD≌△BCP，可得BP=AD，∠CAD=∠CBP，由余角的性質可證BP⊥AD；

（2）拓展探究,如圖2，延長BP交AD于H，由“SAS”可證△ACD≌△BCP，可得BP=AD，∠CAD=∠CBP，由三角形內角和定理可證BP⊥AD；

（3）解決問題,分兩種情況討論，由“SAS”可證△ACD≌△BCP，可得BP=AD，由線段垂直平分線的性質可得AP=PC，即可求解．

解：（1）觀察猜想

如圖1，延長BP交AD于H，

∵將線段PC繞點C順時針旋轉90°得到線段DC，

∴PC＝CD，∠PCD＝90°，

∴∠ACB＝∠PCD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴BP＝AD，∠CAD＝∠CBP，

∵∠CAD+∠D＝90°，

∴∠CBP+∠D＝90°，

∴∠BHD＝90°，

∴BP⊥AD，

故答案為：BP＝AD，BP⊥AD；

（2）拓展探究

仍然成立，

理由如下：如圖2，延長BP交AD于H，

∵將線段PC繞點C順時針旋轉90°得到線段DC，

∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，

∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴BP＝AD，∠CAD＝∠CBP，

∵∠CBP+∠ABP+∠BAC＝90°，

∴∠CAD+∠ABP+∠BAC＝90°，

∴∠AHB＝90°，

∴BP⊥AD；

（3）解決問題

當點A在線段PD上時，如圖3，連接BP，

∵將線段PC繞點C順時針旋轉90°得到線段DC，

∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，

∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴PB＝AD，

∵點M，N分別是AB和AC的中點，

∴MN∥BC，

∴∠ANM＝∠ACB＝90°，且AN＝CN，

∴PN是AC的中垂線，

∴AP＝PC，

∵PC＝CD，∠PCD＝90°

∴PD＝PC，

∴AD＝PD﹣AP＝PC﹣PC＝BP，

∴；

當點P在線段AD上時，如圖4，連接BP，

∵將線段PC繞點C順時針旋轉90°得到線段DC，

∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，

∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴PB＝AD，

∵點M，N分別是AB和AC的中點，

∴MN∥BC，

∴∠ANM＝∠ACB＝90°，且AN＝CN，

∴PN是AC的中垂線，

∴AP＝PC，

∵PC＝CD，∠PCD＝90°

∴PD＝PC，

∴AD＝PD+AP＝PC+PC＝BP，

∴．