Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，CD交AM，BN于點(diǎn)D，C，DO平分∠ADC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半徑R．

Answer 1

（1）證明：過O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，

∵AM切⊙O于點(diǎn)A，

∴OA⊥AD，（1分）

又∵DO平分∠ADC，

∴OE=OA，（2分）

∵OA為⊙O的半徑，

∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，（3分）

∴CD是⊙O的切線．（4分）

（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，（5分）

∴四邊形ABFD是矩形，

∴AD=BF，AB=DF，（6分）

又∵AD=4，BC=9，

∴FC=9﹣4=5，（7分）

∵AM，BN，DC分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，w   W  w . X k b 1.c O m

∴DA=DE，CB=CE，（8分）

∴DC=AD+BC=4+9=13，（9分）

在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC²，

∴DF==12，

∴AB=12，（10分）

∴⊙O的半徑R是6．