Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

（k＞0）經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB和直角邊AB上的點D、C，OA邊在x軸上，若OD：DB=3：4，DE⊥OA，垂足為E，則
（1）OE：OA=

3：7

．
（2）△OAC的面積與△OCB的面積的比值是

9：40

．

Answer 1

分析：（1）由DBDE與BA都與x軸垂直，得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對角相等的兩三角形相似得到三角形ODE與三角形OBA相似，由OD與DB的比值求出OD與OB的比值，即可確定出OE與OA的比值；
（2）由反比例函數(shù)k的幾何意義得到三角形ODE與三角形OAC面積相等，由相似三角形面積之比等于相似比得到三角形ODE與三角形OBA面積之比，設(shè)三角形OAC面積為x，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解確定出三角形OAC與三角形OCB面積之比即可．

解答：解：（1）∵DE⊥x軸，BA⊥x軸，
∴∠DEO=∠BAO=90°，
∵∠DOE=∠BOA，
∴△DOE∽△BOA，
∴

OE

OA

=

OD

OD+DB

=

3

3+4

=

3

7

，即OE：OA=3：7；

（2）設(shè)△OAC面積為x，根據(jù)反比例函數(shù)k的意義得到三角形ODE面積為x，
∵△DOE∽△BOA，
∴三角形DOE與三角形BOA面積之比為9：49，
∴三角形BOA面積為

49

9

x，即三角形BOC面積為

49

9

x-x=

40

9

x，
則△OAC的面積與△OCB的面積的比值是9：40．
故答案為：（1）3：7；（2）9：40．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解本題的關(guān)鍵．