Question

已知：如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過點(diǎn)A的圓分別交AB，AC于點(diǎn)P和Q，交BC于點(diǎn)D和E，若BP+CQ=PQ，求∠DAE的度數(shù)．

Answer 1

解：∵∠CAB=90°
∴PQ是直徑，則PQ的中點(diǎn)O是過點(diǎn)A的圓的圓心．連OE，PE，作PF⊥AB交BC于點(diǎn)F
∵AB=AC
∴∠B=45°
∵PF⊥AB
∴PF=PB，PF∥CQ
∵BP+CQ=PQ
∴FP+CQ=PQ=2OE
∴OE=（FP+CQ）
若取梯形CQPF的邊CF中點(diǎn)M，連OM，則OM∥CQ∥PF，
OM=（FP+CQ）
∴OE=OM
∴點(diǎn)M，E重合．
∴OE∥CQ
又∵CQ⊥AB
∴OE⊥AB
∴EA=EP
∴∠EAP=∠EPA
∵∠EAP=∠EAD+∠DAB，∠EPA=∠B+∠PEB
∴∠EAD+∠DAB=∠B+∠PEB
∵∠DAB=∠PEB
∴∠EAD=∠B=45°．
分析：先得到PQ是直徑，設(shè)圓心為O，連OE，PE，作PF⊥AB交BC于點(diǎn)F，然后根據(jù)BP+CQ=PQ，證明OE∥AC，得到OE⊥AP，得到EA=EP，再由∠EAP=∠EAD+∠DAB，∠EPA=∠B+∠PEB，最后得到∠EAD=∠B=45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑、垂徑定理、梯形的中位線和等腰三角形的性質(zhì)．