Question

（2009•黔南州）楊老師在上四邊形時給學生出了這樣一個題．如圖，若在等腰梯形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點時．提出以下問題：
（1）在不添加其它線段的前提下，圖中有哪幾對全等三角形？請直接寫出結(jié)論；
（2）猜想四邊形MENF是何種的四邊形？并加以說明；
（3）連接MN，當MN與BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形MENF是正方形？（直接寫出關(guān)系式，不需要說明理由）

Answer 1

分析：（1）利用等腰梯形的性質(zhì)得到AB=CD，∠A=∠D，再由M是AD的中點得到AM=DN，然后根據(jù)“SAS”可判斷△ABM≌△DCM，則BM=CM，于是得到∠EBN=∠FCN，再利用E、F分別是BM、CM的中點可得到BE=CF，N是BC的中點得到BN=CN，根據(jù)“SAS”可判斷△BNE≌△CNF；
（2）利用△ABM≌△DCM得到BM=CM，N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，根據(jù)中位線定理得到EN=

1

2

CM，NF=

1

2

BM，根據(jù)線段中點的定義得到ME=

1

2

BM，MF=

1

2

CM，則ME=MF=EN=FN，然后根據(jù)菱形的判定得到四邊形MENF是菱形；
（3）當MN=

1

2

BC時，則NM=NB=NC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算得到∠EMF=90°，而四邊形MENF是菱形，然后根據(jù)正方形的判定方法得到四邊形MENF是正方形．

解答：解：（1）△ABM≌△DCM，△BNE≌△CNF；

（2）四邊形MENF是菱形．理由如下：
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
∵M是AD的中點，
∴AM=DN，
∴△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，
∴EN=

1

2

CM，NF=

1

2

BM，ME=

1

2

BM，MF=

1

2

CM，
∴ME=MF=EN=FN，
∴四邊形MENF是菱形；

（3）當MN=

1

2

BC時，四邊形MENF是正方形．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形的兩腰相等，同一底上的兩個角相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及正方形的判定．