Question

已知：如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，以它的一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）求DF的長；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

證明：（1）連接DO，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF為⊙O的切線；

（2）∵△OAD是等邊三角形，
∴AD=AO=AB=2，
∴CD=AC-AD=2，
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=CD=1，
∴DF==；

（3）連接OE，由（2）同理可知CE=2，
∴CF=1，∴EF=1，
∴S_{直角梯形FDOE}=（EF+OD）•DF=，
∴S_扇形OED==，
∴S_陰影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=-．
分析：（1）連接DO，要證明DF為⊙O的切線只要證明∠FDP=90°即可；
（2）由已知可得到CD，CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；
（3）連接OE，求得CF，EF的長，從而利用S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED求得陰影部分的面積．
點評：此題考查了切線的判定，等邊三角形的性質(zhì)，以及扇形面積求法，其中切線的判定方法為：有點連接證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．