Question

如圖所示，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分
規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分，點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P若在某個(gè)部分時(shí)，連接PA、PB、構(gòu)成∠PAC，∠APB、∠PBD三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線組成的角是0°角）

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立，若不成立，請(qǐng)寫出∠APB、∠PAC、∠PBD之間存在的一個(gè)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)P作PQ∥AC，由AC∥BD，即可證得AC∥PQ∥BD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，繼而求得答案；
（2）首先過(guò)P作PQ∥AC，由AC∥BD，即可證得AC∥PQ∥BD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．

解答：（1）證明：過(guò)P作PQ∥AC，則∠APQ=∠PAC．            …（1分）
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD．
∴∠BPQ=∠PBD．     …（2分）
∴∠APQ+∠BPQ=∠PAC+∠PBD．
即∠APB=∠PAC+∠PBD．                       …（6分）

（2）解：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第②部分時(shí)，結(jié)論∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，…（8分）
過(guò)P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥PQ∥BD，
∴∠APQ+∠PAC=180°，∠QPB+∠PBD=180°，
∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°，
即其存在的關(guān)系式是∠PAC+∠PBD=360°-∠APB．   …（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用．