Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使AB=BD，連結(jié)CD，如果tan∠DCB=

1

3

，則sinA=（　�。�

• A．

  3 13

  13

• B．

  13

  13

• C．

  4

  5

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：過點(diǎn)B作BE∥AC，交CD于E，就可以得出∠CBE=90°，就有

BE

BC

=

1

3

，設(shè)BE=x，BC=3x，由BE∥AC就可以得出△DBE∽△DAC就可以表示出AC，由勾股定理就可以得出AB，從而求出結(jié)論．

解答：解：過點(diǎn)B作BE∥AC，交CD于E，
∴∠CBE=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE=90°．
∴tan∠DCB=

BE

BC

．
∵tan∠DCB=

1

3

，
∴

BE

BC

=

1

3

，
∴BC=3BE．
∵BE∥AC，
∴△DBE∽△DAC，
∴

BE

AC

=

BD

AD

．
∵AD=AB+BD，AB=BD，
∴AD=2BD．
∴

BE

AC

=

BD

2BD

=

1

2

，
∴AC=2BE．
設(shè)BE=x，則BC=3x，AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

13

x．
∵sin∠A=

BC

AB

，
∴sin∠A=

3x

13 x

=

3 13

13

．
故選A，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用三角形函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．