Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+與直線y＝x+b交于A、B兩點，其中點A在x軸上，點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合）過P作y軸的平行線交直線于點C，連接PA、PB．

（1）求直線的解析式及A、B點的坐標；

（2）當△APB面積最大時，求點P的坐標以及最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣，A點的坐標為（1，0），B點的坐標為（﹣5，﹣3）；（2）當x＝﹣2時，△APB面積最大，最大值為27，此時點P的坐標為（﹣2，）．

【解析】

（1）令＝0求出A點的坐標，將A點坐標代入y＝x+b可求出直線解析式，聯(lián)立拋物線和直線解析式可求出B點的坐標；

（2）設P（x，），則C（x，x﹣），由此表示出PC的長，根據三角形面積公式得到S△APB＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5），整理成頂點式，即可求出面積最大值和P的坐標.

（1）∵y＝，

∴當y＝0時，＝0，

解得x1＝﹣，x2＝1，

∴A點的坐標為（1，0）．

將A（1，0）代入y＝x+b，

得0＝×1+b，

解得b＝﹣，

∴直線的解析式為y＝x﹣．

由，解得，，

∴B點的坐標為（﹣5，﹣3）；

（2）設P（x，），則C（x，x﹣），

∴PC＝（）﹣（x﹣）＝﹣x2﹣4x+5，

∴S△APB＝PC|xA﹣xB|

＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5）

＝﹣3x2﹣12x+15

＝﹣3（x+2）2+27，

當x＝﹣2時，△APB面積最大，最大值為27，此時點P的坐標為（﹣2，）．