Question

已知直線l₁∥l₂∥l₃∥l₄，正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，正方形ABCD的面積為S．
（1）如圖1，已知平行線間的距離均為m，求S．（用含有m的式子表示）
（2）如圖2，改變平行線之間的距離，但仍使四邊形ABCD為正方形，
①求證：h₁=h₃．
②求證：s=(h1+h2)2+h12，
③若

3

2

h1+h2=1，求S關(guān)于h₁的函數(shù)關(guān)系式，并指出S隨h₁變化的規(guī)律．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)過D點作EF⊥l₁于E交l₄于F，首先得出△ADE≌△DCF，再利用勾股定理得出S；
（2）①首先過A點作AP⊥l₂于P，過C點作CQ⊥l₃于Q，得出△ABP≌△CDQ，即可得出AP=CQ，即h₁=h₃，
②首先過D點作EF⊥l₁于E交l₄于F，則ED=h₁+h₂，DF=h₃，進而得出△ADE≌△DCF，則AE=DF=h₃，再利用勾股定理AD²=AE²+DE²，求出即可；
③利用

3

2

h1+h2=1，以及②中所求得出S的值即可．

解答：解：
（1）如圖1，過D點作EF⊥l₁于E交l₄于F，
則ED=2m，DF=m，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
∵∠FCD+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，

∠AED=∠DFC ∠ADE=∠DCF AD=CD

，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF=m，
在Rt△ADE中由勾股定理可得：
AD²=AE²+DE²=m²+（2m）²=5m²，
∴S=AD²=5m²，

（2）如圖2所示：
①過A點作AP⊥l₂于P，過C點作CQ⊥l₃于Q，
∵∠EAD+∠DAP=90°，
∠EAD=∠ADQ，
∴∠DAP+∠ADQ=90°，
∵∠CDQ+∠ADQ=90°，
∴∠DAP=∠DQC，
∵∠ABP+∠BAP=90°，∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠ABP=∠QDC，
在△ABP和△CDQ中，

∠APB=∠DQC ∠PBA=∠QDC AB=CD

，
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ，即h₁=h₃，

②過D點作EF⊥l₁于E交l₄于F，則ED=h₁+h₂，DF=h_3，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
∵∠FCD+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，

∠AED=∠DFC ∠ADE=∠DCF AD=CD

，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
則AE=DF=h₃，
在Rt△ADE中由勾股定理可得：AD²=AE²+DE²=

h

2 3

+（h₁+h₂） ²，
又∵h₁=h_3，
∴S=AD²=（h₁+h₂） ²+

h

2 1

，

③∵

3

2

h1+h2=1，
∴h2=1-

3

2

h1，
∴S=（h₁+1-

3

2

h₁）²+

h

2 1

，
=

5

4

h

2 1

-h₁+1，
=

5

4

（h₁-

2

5

）²+

4

5

，
又∵

h1＞0 1- 3 2 h1＞0

，
解得0＜h₁＜

2

3

，
∴當0＜h₁＜

2

5

時，S隨h₁的增大而減��；  
當h₁=

2

5

時，S取得最小值

4

5

；
當

2

5

＜h₁＜

2

3

時，S隨h₁的增大而增大．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，利用二次函數(shù)的增減性得出S隨h₁的關(guān)系是解題關(guān)鍵．