Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），且當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．一次函數(shù)y=﹣x+3與二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的圖象分別交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限．
（1）求二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的表達(dá)式；
（2）連接AB，求AB的長；
（3）連接AC，M是線段AC的中點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，連接AN，CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=.

又因?yàn)槎�次函�?shù)過點(diǎn)A（1,0）則解得．

故拋物線的解析式為y=-x2+ -2；

（2）

解：聯(lián)立拋物線與直線，得

解得 ， ，即B（2，1），C（5，﹣2）．

由勾股定理，得AB= = ；

（3）

如圖：

，

四邊形ABCN是矩形，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴AM=CM．

∵點(diǎn)B繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，∴BM=MN，

∴四邊形ABCN是平行四邊形．

∵A（1,0），B（2，1），C（5，﹣2），

∴AC2=(1-5)2+(0+2)2=20,

BC2=(2-5)2+(1+2)2=18,

AB2=2,

∴AB2+BC2=AC2,

則∠ABC=90°，

則四邊形ABCN是矩形.

【解析】（1）根據(jù)當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，可得對(duì)稱軸是 ， 根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與直線，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AB的長；
（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得MN與BM的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定; 再由勾股定理可得答案．