Question

如圖．∠C=90゜，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延長線交DE于F
（1）求證：點F是ED的中點；
（2）求證：S_△ABC=2S_△BEF．

Answer 1

分析：（1）過點E作EM⊥CF交CF的延長線于M，根據(jù)同角的余角相等求出∠EBM=∠A，然后利用“角角邊”證明△ABC和△BEM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BC=EM，再求出BD=EM，然后利用“角角邊”證明△EMF和△DBF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=DF，從而得證；
（2）根據(jù)全等三角形的面積相等和等底等高的三角形的面積相等進(jìn)行證明．

解答：證明：（1）如圖，過點E作EM⊥CF交CF的延長線于M，
∵BE⊥AB，
∴∠EBM+∠ABC=180°-90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=180°-90°=90°，
在△ABC和△BEM中，

∠EBM=∠A ∠C=∠M=90° BE=AB

，
∴△ABC≌△BEM（AAS），
∴BC=EM，
∵BD=BC，
∴BD=EM，
在△EMF和△DBF中，

∠M=∠DBF=90° ∠EFM=∠DFB BD=EM

，
∴△EMF≌△DBF（AAS），
∴EF=DF，
∴點F是ED的中點；

（2）∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，
∴S_△ABC=S_△BEM，S_△EMF=S_△DBF，
∵點F是ED的中點，
∴S_△BEF=S_△DBF=

1

2

S_△BEM=

1

2

S_△ABC，
∴S_△ABC=2S_△BEF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．